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지구화학 개론 - 제 5장 동위원소 지구화학 (Isotope Geochemistry)
 
  5-1. 동위원소의 정의 및 종류
  5-2. 동위원소의 지질학적 응용(개괄)
  5-3. 방사성 동위원소를 이용한 절대 연령 측정
  5-4. 안정 동위원소의 조성
  5-5. 안정 동위 원소의 분별
  참고문헌

5-3.방사성 동위원소를 이용한 절대 연령 측정

    방사능 원소는 불안정하여 일정한 비율로 붕괴되어 자원소를 만든다. 광물, 암석 내에는 여러 방사능 원소(모원소)와 그 자원소들이 포함되어 있다. 우리는 지금부터 이들 모원소와 자원소의 양으로부터 어떻게 암석의 연령을 측정하는지 살펴보자.

5-3-1. 방사능 붕괴식 및 반감기

1) 방사능 붕괴식

    다음과 같이 어떤 모원소 P가 붕괴하여 자원소D를 만든다고 생각하자.

P -> D(R-5-3-1)

위 반응에서 ->로 표시된 것은 적어도 지구환경에서 자원소가 D가 다시 모원소 P로 변하지 않는 것을 나타낸 것으로 (이러한 반응을 "비가역 반응"이라고 한다), 이 점때문에 우리가 절대 연령을 측정할 수 있는 것이다. 반응 (R-5-3-1)의 속도는 모원소의 양에 비례한다. 즉,

-d[P]/dt ∝[P](5-3-1)

위 식에서 [P]는 P의 양을 나타내는 것이며, 앞에 -가 붙은 것은 모원소의 양이 많을수록 빨리 줄어들기 때문이다. 하나의 비례상수를 이용하여 식 (5-3-1)을 아래와 같이 등식으로 바꿀 수 있다.

-d[P]/dt = λ[P](5-3-2)

이때 식 (5-2)의 비례상수를 방사능 원소의 붕괴상수(decay constant)라 한다. 붕괴 상수는 주어진 자원소-모원소 짝에 따라 각기 일정한 값을 가지며, 이 값은 온도와 압력에 따라 변하지 않는다. 식 (5-3-2)를 적분하면 다음과 같은 식을 얻는다.

-∫d[P]/[P] = ∫λdt -->

ln([P]/[P]o) = -λt

(5-3-3)

식(5-3)을 정리하면 아래와 같은 방사능 붕괴식을 얻는다.

[P] = [P]oexp(-λt)(5-4)

만일 방사능 붕괴에 의해 형성된 자원소의 양을 [D]*라 하면

[D]* = [P]o-[P](5-3-5)

이므로 식 (5-3-4)를 다음과 같이 표현할 수도 있다.

[D]* = [P]o(1-exp(-λt))(5-3-6)

2) 반감기

    반감기(half-life)는 원래의 모원소 양이 반으로 감소하는데 걸리는 시간을 의미한다. 즉

[P]=[P]o/2(5-3-7)

까지의 소요시간을 의미하는 것이다. 이 반감기를 t1/2라 하면, 식(5-3-3) 및 (5-3-7)로부터

t1/2 = ln(1/2)/λ = 0.693/λ (5-3-8)

아래 표 5-3-1은 여러 자연산 방사능 붕괴 원소의 붕괴 상수 및 반감기를 정리한 것이다.

[표 5-3-1] 여러 자연산 방사능 붕괴 원소의 붕괴 상수 및 반감기
방사능 원소(모원소) 붕괴 방식 붕괴 상수 (a-1 반감기(년) 동위원소 양(%) 최종 자원소
14C β 1.21*10-4 5730 -- 14N
40K β, EC 5.480*10-10 1.27*109 0.018 40Ca, 40Ar
50V β, EC 1.16*10-16 6*1015 0.24 50Cr, 50Ti
87Rb β 1.419*10-11 4.89*1010 27.85 87Sr
115In β 1.39*10-15 5*1014 95.72 115Sn
123Te EC 5.78*10-14 1.2*1013 0.87 123Sb
138La EC, β 6.3*10-12 1.1*1011 0.089 138Ba, 138Ce
142Ce α ~1.4*10-17 ~5*1016 11.07 138Ba
144Nd α 2.89*10-16 2.4*1015 23.85 140Ce
147Sm α 6.54*10-12 1.06*1011 14.97 143Nd
152Gd α 6.3*10-15 1.1*1014 0.2 148Sm
176Lu β 1.98*10-11 3.5*1010 2.59 176Hf
174Hf α 3.5*10-16 2*1015 0.18 170Yb
187Re β 1.61*10-11 4.3*1010 62.5 187Os
190Pt α 1*10-12 7*1011 0.013 186Os
232Th 연쇄 4.990*10-11 1.39*1010 100 208Pb
234U 연쇄 2.794*10-6 2.44*105 0.0055 206Pb
235U 연쇄 9.8485*10-10 7.04*108 0.72 207Pb
238U 연쇄 1.5512*10-10 4.47*109 99.28 206Pb

5-3-2. 절대 연령 측정

1) 초기 자원소의 양이 0인 경우(또는 그에 준하는 경우)

    만일, 광물이나 암석이 생성될 당시에 자원소가 포함되지 않아 현재 관찰되는 자원소가 모두 방사능 붕괴에 의해 생성된 것이라면, 이 광물이나 암석의 연령 측정은 식(5-3-6)을 이용하여 측정할 수 있다. 식(5-3-6)을 다시 쓰면
[D]* = ([D]*+[P])(1-exp(-λt))
(5-3-9)

(5-3-9)식을 연령 t에 대해 정리하면,
t = ln(1+[D]*/[P])/λ
(5-3-10)

식 (5-3-10)에 의해 계산되는 시간이 절대연령이다. 이렇게 계산하는 연령 측정 방법의 예로는 14C 법, K-Ar 법 등이 있다.

① 14C 법

14C는 주로 대기 중에서 우주선(cosmic ray)으로부터 유래된 중성자(neutron; n)와 질소가 반응하여 다음과 같이 만들어진다:

n + 14N -> 14C + p + e-(R-5-3-2)

위 식에서 p는 양성자(proton)을 의미한다. 이렇게 만들어진 14C는 불안정해서 아래처럼 일정한 속도로 다시 14N로 다시 붕괴한다:

14C -> 14N + β + ν+ Q-(R-5-3-3)

위 식에서 ν는 중성미자(neutrino), Q는 방사능 붕괴 에너지이다. 주어진 조건에 따라 위 반응 (R-5-3-2)와 (R-5-3-3)은 서로 균형을 이뤄 대기 내 14C의 함량을 일정하게 유지하며, 이에 따라 합성을 하는 식물 체내에도 합성이 지속되는 한 일정한 양의 14C를 유지하게 된다. 이는 이 식물을 섭취하여 살아가는 동물들에 있어서도 마찬가지이며, 이를 좀 더 화장하면 대기로부터 탄소를 공급 받아 형성되는 모든 물질(예를 들면, 탄산염광물, 조개 껍데기 등)에 있어서도 같은 이유로 14C의 함량이 일정한 값을 갖게 된다. 그러다가, 이들 물질이 대기와의 접촉이 끊기면(즉 생물의 경우 사망한다던지, 광물의 경우 매몰된다던지 하면) 이들 물질 내의 14C 함량은 방사능 붕괴에 의해(식 R-5-3-3) 시간이 지남에 따라 줄어들게 된다. 따라서 이들 물질 내 14C의 (대기와 평형을 이루었을 때의) 초기 함량과 현재의 함량을 알면 식(5-3) 을 이용하여 절대 연령을 측정할 수 있다. 식(5-3-3)을 변형하여 정리하면

t = (1/λ) ln(Ao/A)(5-3-11)

위에서 A는 현재 측정된 방사선 량, Ao는 초기 방사선 량으로 현재 및 초기의 14C에 비례하는 양으로 생각하면 된다. Ao는 측정 물질의 종류에 따라 그리고 환경에 따라 다른 값으로 물질마다 따로 정해 주어야 한다.

② K-Ar 법

40K은 전자포획붕괴를 통해 40Ar로 그리고 동시에 β붕괴를 통해 40Ca으로 붕괴된다. 각 자원소의 생성 속도는 식 (5-2)를 변형하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

d[40Ar]/dt = λAr[40K] (5-3-12)

d[40Ca]/dt = λCa[40K] (5-3-13)

여기서, λAr=0.581*10-10/a이며 λCa=4.962*10-10/a이다. 식 (5-3-12)와 (5-3-13)으로부터

d[40Ca]/dt = (λCa/λAr) d[40Ar]/dt (5-3-14)

모원소 총 변화량은

d[40K]/dt = -(d[40Ar]/dt + d[40Ca]/dt)(5-3-15)

식 (5-3-15)에 식 (5-3-14)를 대입하고 정리하면

d[40Ar] = -λArd[40K]/(λAr+λCa) (5-3-16)

식 (5-3-16)을 적분하면

[40Ar]-[40Ar]o = -λAr/(λAr+λCa)([40K]-[40K]o) (5-3-17)

Ar은 기체이므로 생성 초기의 양은 0이다 (즉,[40Ar]o=0). 위 식에 식 (5-3-4)를 적용하여 정리하면 다음과 같은 연령 측정 식을 얻을 수 있다:

[40Ar] = λAr[40K](exp(λt)-1)/λ(5-3-18)

이 식에서 λ= (λAr+λCa)이다.

2) 처음부터 일정량의 자원소가 존재하는 경우

    만일 우리가 절대 연령 측정을 위해 사용하고자 하는 모원소-자원소 짝의 자원소가 대상 광물 암석 내에 생성 당시부터 포함되어 있다면 어떻게 될까? 분석되는 자원소의 총량([D]t)은 처음부터 존재하던 양([D]o)에 방사능 붕괴에 의해서 생성된 양([D]*)이 더해진 것이므로, 초기 양을 알면 위와 같이 식(5-3-10)을 이용하여 계산할 수 있을 것이다. 하지만, 단순한 계산에 의해서는 초기 자원소의 양을 알길이 없다. 이를 알기 위해서는 방사능 붕괴에 의해 생성된 양을 알아야하고, 방사능 붕괴에 의해 생성된 양을 알기 위해서는 다시 초기 자원소의 양을 알아야 하는 순환 함정에 빠지기 때문이다.

    문제 해결의 열쇠는 방사성 동위원소의 존재와 이들 동위원소가 물리화학적 과정중에 분별(fractionation)되지 않는다는 점에 있다. 광물이나 암석이 처음 생성될 때 부분에 따라 모원소와 자원소의 함량이 다를 것이다. 시간이 지남에 따라 방사능 붕괴가 진행되면서 모원소가 많은 부분에선 보다 많은 자원소가 적은 부분에서는 보다 적은 자원소가 만들어진다. 따라서 암석 내 모원소 및 자원소 양을 단순 비교하면 뒤죽 박죽으로 어떠한 일정한 경향성을 찾기 불가능하다. 하지만, 방사능 붕괴 결과 생성되는 자원소와 이 자원소의 동위원소 중 방사능 붕괴와 관련이 없는 원소([D]n)와의 비율([D]t/[D]n)을 살펴보기 시작하면 이야기는 달라진다. 앞서 지적한 바와 같이, 방사성 동위원소는 동위원소 간 분별이 거의 없기 때문에, 그 동위원소의 비는 초기에 모든 곳에서 같을 것이다.

[D]t=[D]o+[D]*의 관계와 식 (5-3-4) 및 (5-3-6)으로부터 다음과 같은 관계를 유도할 수 있다:

[D]t=[D]o+[P](exp(λt)-1)(5-3-19)

위 식의 양변을 [D]n으로 나누어 주면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다:

[D]t/[D]n=[D]o/[D]n+([P]/[D]n)(exp(λt)-1)(5-3-20)

식 (5-3-20)의 [D]o/[D]n는 동일한 동위원소 풀에서 동시에 형성된 물질 간에는 일정한 값을 갖는다. 따라서 이러한 동시 생성 물질들의 ([P]/[D]n)와 [D]t/[D]n를 xy 그래프에 도시하면, 같은 시간을 보낸 물질들은 직선을 이루게 되며, 이 직선을 등시간선(isochron)이라 부른다. 이 등시간선의 y 절편으로부터 [D]o/[D]n 값을 기울기(exp(λt)-1)로부터 연령(t)을 계산할 수 있다. 아래 그림 5-3-1은 87Rb-87Sr 붕괴 짝을 이용한 연령 측정을 어떻게 하는지 모식적으로 나타낸 것이다.

[그림 5-3-1]. 87Rb-87Sr 붕괴의 등시간선.
(출처: http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/radiometric_dating.php)

① Rb-Sr 법

이 방법은 운모와 장석을 포함하는 화성암 및 변성암의 연령 측정에 많이 사용된다. 이 방법의 연령 측정식은 아래와 같다:

87Sr /86Sr =(87Sr /86Sr)o + (87Rb/86Sr )(exp(λt)-1)(5-3-21)

② Sm-Nd, La-Ce, Lu-Hf 법

Ca가 풍부한 (선캠브리아기의) 화성암 및 고변성암의 연령 측정에 주로 이용되는 방법이다. 이들의 연령 측정식은 아래와 같다:

143Nd/144Nd =(143Nd/144Nd)o + (143Sm/144Nd)(exp(λt)-1)(5-3-22)
138Ce/140Ce =(138Ce/140Ce)o + (λβ/λ)(138La/140Ce )(exp(λt)-1)(5-3-23)
176Hf/177Hf =(176Hf/177Hf)o + (176Lu/177Hf)(exp(λt)-1)(5-3-24)

③ Re-Os 법

이 방법은 운석, 초염기성암 및 휘수연석(molybdenite)가 많은 암석의 연령을 측정할 때 사용된다. 암석 내 Re-Os의 함량이 워낙 낮고 분석에 어려움이 있어 아직 범용적으로 사요되는 방법은 아니다. 이 방법의 연령 측정식은 아래와 같다:

187Os/186Os =(187Os/186Os)o + (187Re/186Os)(exp(λt)-1)(5-3-25)

④ U, Th-Pb 법

U이나 Th을 포함하는 모든 물질의 연령은 다음과 같은 연령 측정식을 사용하여 알아낼 수 있다:

206Pb/204Pb =(206Pb/204Pb)o + (238U/204Pb)(exp(λ1t)-1)(5-3-26)
207Pb/204Pb =(207Pb/204Pb)o + (235U/204Pb)(exp(λ2t)-1)(5-3-27)
208Pb/204Pb = (208Pb/204Pb)o + (232Th/204Pb)(exp(λt)-1)(5-3-29)

가끔 위 세 방법에 의해 측정된 연령이 서로 일치하지 않을 때가 있는데, 그 이유는 자원소가 일부 유실되었기 때문일 (또는 모원소가 부화 되었기 때문일) 가능성이 있다. 이러한 유실은 방사선으로 인해 생긴 균열을 따라 일어난다. 이럴 경우, 또 다른 방법으로 납-납 연령 측정법(Lead-lead method)을 시도해 볼 수 있다.

식 (5-3-27)을 식 (5-3-26)으로 나누어주면,

{(207Pb/204Pb)- (207Pb/204Pb)o}/ {(206Pb/204Pb)- (206Pb/204Pb)o}=
(235U/238U){(exp(λ2t)-1)/(exp(λ1t)-1)}		(5-3-30)

207Pb/204Pb를 y축으로 206Pb/204Pb를 x축으로 하여 도시하면 주어진 235U/238U 값에 따라 직선을 이루며, 식 (5-3-30)의 오른 쪽 항이 이 직선들의 기울기가 된다. 하지만, 식 (5-3-30)은 수학적으로 연령에 대해 간단히 풀리지 않는다.

만일 초기 방사성 동위원소(자원소)의 양이 0인 광물이 있다면, Pb 유실에 상관 없이 매우 정확한 연령을 측정할 수 있다. 저어콘(ZrSiO4), 모나자이트, 인회석 등이 대표적인 이러한 광물인데, 저어콘의 경우 광물 내 Zr+4를 U+4이나 Th+4은 치환할 수 있지만 Pb+2은 전하와 크기 차이가 너무 많아 치환 할 수 없기 때문에 초기에 Pb의 함량이 0이 된다.

초기 자원소의 양이 0일 경우, 식 (5-3-26)과 (5-3-27)은 각각 다음과 같이 된다:

206Pb*/238U = (exp(λ1t)-1)(5-3-31)
207Pb*/235U = (exp(λ2t)-1)(5-3-32)

식 (5-3-31)을 (5-3-32)로 나누면,

(206Pb*/238U)/(207Pb*/235U) = (exp(λ1t)-1)/(exp(λ2t)-1)(5-3-33)

식 (5-3-33)의 우변은 오직 절대 연령에 의해서만 값이 정해지며, 만일 Pb 유실이 없다면 207Pb*/235U를 x 206Pb*/238U를 y 축으로 하는 그래프에서 절대연령의 변화에 따라 하나의 곡선을 이루게 된다. 이 곡선을 concordia라 부른다. 만일 Pb의 유실이 있으면, 같은 그래프 상에서 같은 시기에 생성된 저어콘들은 Pb 유실 정도에 따라 여러 다른 점에 찍히게 되는데, 이 점들이 하나의 직선을 이루게 된다. 이 직선을 discordia라 부른다. 저어콘이 discordia를 이룰 경우, 이 저어콘의 연령은 discordia와 concordia가 만나는 지점의 concordia 상 연령이 된다. 아래 그림 5-3-2는 concordia와 dicordia의 모습을 보여주는 것이다.


[그림 5-3-2]. 207Pb*/235U - 206Pb*/238U concordia, discordia.

⑤ 재평형 시간

새로 생성된 암석 내, 방사능 원소(모원소)는 시간이 지나면서 붕괴하여 자원소를 만든다. 생성될 때 같은 동위원소 풀(pool)로부터 만들어진 암석들의 초기 자원소의 동위원소 비는 모두 같다는 점은 이미 설명하였다. 이들 암석이 외부와의 물질 교류가 없으면, 즉 모원소와 자원소의 유입 유출이 없다면, 모원소와 자원소의 비율은 시간이 지남에 따라 기울기가 점점 커지는 그림 (5-3-1)과 같은 직선을 이루게 된다.

그런데 만일, 암석이 외부와의 물질 교류는 없지만 과거 한 때 재결정 작용과 같은 지질학적 사건을 겪었다면 이 암석 내 모원소 자원소 비율은 어떻게 변할까? 답은 암석 전체의 이 비율은 변화가 없다는 것이다. 하지만, 이 재결정 작용에 의해 암석 내 각각의 광물은 모두 같은 자원소 비율을 갖게 되며, 그 이후 시간이 지나면서 다시 모원소 자원소 동위원소 비율이 변하게 된다. 이러한 이유로 암석 전체를 바탕으로 얻어진 절대 연령과 광물 단위로 분리하여 얻어진 절대 연령이 다른 값을 보이는 경우가 종종있게 된다. 대체로 광물 단위별로 얻어진 절대 연령이 더 젊은 겂을 가지며, 이 때 이 연령을 재평형 시간(reequilibrium time 또는 reequilibrium age)이라고 한다. 아래 그림 (5-3-3)은 암석 전체와 각각 광물의 의 동위원소 비율이 어떻게 다를 수 있는지 모식적으로 보여주는 것이다

[그림 5-3-3]. 암석과 광물의 동시간선 비교. ti는 암석의 생성 연령이며, tm은 재평형 시간이다.

5-4. 안정 동위원소의 조성에 계속

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